¿Qué es constante y qué es variable?
¿Qué nos dice el
teorema de Thales?
¿En qué situaciones se presentan las razones de
cambio en la vida cotidiana?
¿Qué tan rápido se mueve nuestra sombra con
respecto a la proyección de la luz de una lámpara?
Breve recorrido histórico
Desde la antigüedad el hombre se ha visto en la necesidad de entender
los cambios que se presentan en la naturaleza para transformar su entorno. Los
babilonios y egipcios utilizaban la matemática de una forma práctica” y por
ello lograron establecer, hace mas de 3000 años, relaciones entre las
variaciones de las diversas magnitudes que estudiaban, en un principio de forma
cualitativa”; un ejemplo de esto es que se preocupaban por los cambios de su
entorno con relación al universo. Mas tarde, las variaciones se registraban de
manera cuantitativa; un ejemplo de esto es los valores cambiantes de obras como
las pirámides.
Los griegos utilizaron la matemática para resolver problemas de una
forma más intelectual; Tales de Mileto fue quien realizó estudios acerca de las
proporciones, lo cual fue un gran avance en la geometría, en las comparaciones
entre medidas de segmentos; esto constituyó el nacimiento de conceptos como el
de razón geométrica como herramientas para el análisis cualitativo de
relaciones entre magnitudes. Esta teoría se utilizo en la toma de medidas
cuando se logró calcular la altura de una pirámide comparada con su sombra con
la de una vara vertical.
Entonces, es con los diferentes avances que se dieron en el cálculo
diferencial sobre recta tangente, limite, derivada, su acercamiento a la física
y la posibilidad de hacer uso de ecuaciones que muestran la dependencia entre
dos magnitudes interdependientes es que surge la representación de las razones
de cambio.
Para el desarrollo de la actividad se
presentan las siguientes definiciones
El cambio se
matematiza mediante el cálculo, que se considera como la rama de las
matemáticas que realiza modelos para prever un resultado de una acción
previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de
unos datos previamente conocidos.
La razón de cambio constante: Este tipo de razones al hallar el resultado del
cociente, siempre define un mismo resultado. Es decir al calcular la variación
de los incrementos se puede obtener siempre un resultado igual a cero o la
misma magnitud.
La razón de cambio variable: En algunos casos el cambio puede fluctuar durante un
intervalo de tiempo, es decir, variar para cada instante donde sea calculado.
En este caso se denomina razón de cambio instantánea, considerando
variaciones cada vez más pequeñas.
El applet que se presenta consta de una gráfica donde aparece la
distancia recorrida de Homero con respecto al tiempo. Además hay una
lámpara que está proyectando una luz sobre Homero, lo cual produce una sombra
(que aparece de color gris en el suelo). Al dar clic sobre play, podemos ver el
desplazamiento que Homero va realizando, la sombra que se produce y la
proyección de la luz de la lámpara. También podemos interactuar con la opción
tiempo en el deslizador que allí aparece con el fin de predecir cuántos metros
recorrerá homero durante determinado tiempo.
Actividad
La estatura de Homero es de 6pies, el esta caminando con una velocidad
de 8pies/segundo con respecto a una lámpara que se encuentra a una altura de 18
pies. Según los datos dados responde las siguientes preguntas:
1. ¿Cuántos triángulos observas?¿Los triángulos son semejantes o
congruentes?
2. Asígnale a cada lado de los triángulos una letra, ¿Cuáles son variables
y cuáles son constantes?¿porqué?
3. ¿Cuál es la velocidad con la que crece la sombra de Homero?
4. ¿Con qué velocidad se mueve la punta de la sombra con respecto al
farol cuando Homero esta a una distancia de 100pies de la lámpara?
La actividad permite conocer las diferentes variables con las que se relaciona el concepto de derivada, pero pienso que no permite que el estudiante pueda establecer relaciones de este concepto con situaciones de la vida cotidiana. Por otro lado, me parece de gran importancia la parte histórica del comienzo de la actividad, lo que da una muestra que los conceptos matemáticos han presentado una evolución y han surgido de acuerdo a las necesidades del ser humano, y que no son algo desligados de este.
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